Jest absolwentem Akademii Muzycznej w Warszawie i laureatem konkursów wokalnych, min. Austriackiego Belvedere i Międzynarodowego Konkursu Śpiewaczego w Barcelonie.
Jako światowej sławy śpiewak operowy - baryton, występował w najważniejszych teatrach operowych świata: Metropolitan Opera, Covent Garden, Wiedeńskiej Staatsoper, La Scali, Operze Paryskiej, Lyric Opera w Chicago, Operze Bawarskiej i wielu innych. Publiczność doceniła jego wspaniały głos, muzyczną wrażliwość, charyzmę i czarującą prezencję sceniczną.
Odtwarzał tytułowe role w znanych operach: „Don Giovanni” Wolfganga Amadeusza Mozarta, „Król Roger” Karola Szymanowskiego, „Eugeniusz Oniegin” Piotra Czajkowskiego. Występował jako Almaviva w „Weselu Figara” Mozarta, Malatesta w „Don Pasquale” oraz Nottingham w „Roberto Devereux” Gaetana Donizettiego, Riccardo w „Purytanach” Vincenza Belliniego, Rodrigo di Posa w „Don Carlosie” Giuseppe Verdiego oraz Zurga w „Poławiaczach Pereł” Georges’a Bizeta.
Mariusz Kwiecień zadebiutował na scenie Met w 1999 roku i występował poza rolami wymienionymi wyżej, m.in. jako Marcello w „Cyganerii” Giacoma Pucciniego, Guglielmo w „Cosi fan tutte” Mozarta, Escamillo w „Carmen” Georges’a Bizeta, a także jako Enrico w „Łucji z Lammermoor” i Belcore w „Napoju miłosnym” Donizettiego. W Met śpiewał nieprzerwanie przez dwadzieścia sezonów.
„...olśniewający, wspaniały głos i prezencja [...] na dodatek inteligentny. Pełen pakiet...” – napisał Michael White w „The New York Times”. „ Kwiecień jest jednym z najznakomitszych barytonów naszych czasów i jednym z najbardziej inteligentnych aktorów operowych ”- tak pisano o Artyście po premierze„ Poławiaczy Pereł” w Lyric Opera of Chicago.
22 maja 2009 z rąk Ministra Kultury i Dziedzictwa naodowego Bogdana Zdrojewskiego odebrał Srebrny Medal „Zasłużony Kulturze Gloria Artis”. W 2011 został laureatem Nagrody Ministra Krakowa. Postanowieniem prezydenta RP Bronisława Komorowskiego z 16 czerwca 2015 został odznaczony Złotym Krzyżem Zasługi za zasługi dla Kultury polskiej.
Od 2020 roku pełni zaszczytną funkcję Dyrektora Artystycznego Opery Wrocławskiej.
Jako juror uczestniczy w licznych konkursach wokalnych w Polsce, Estonii i USA. Prowadzi zajęcia z młodymi artystami w wielu polskich i zagranicznych instytucjach kultury. Jest założycielem programu Opera Młodych współpracującego z Operą Wrocławską.